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// Tonelli-Shanks Algorithm // 素数 p を法とし、n が与えられたとき、 // r^2 = n (mod p) を満たす r を求める struct QuadraticResidue { using lint = long long int; QuadraticResidue() {} // x^k (mod p) lint mod_pow(lint x, lint k, lint p) { lint res = 1; for(; k>0; k>>=1) { if(k & 1) (res *= x) %= p; (x *= x) %= p; } return res; } lint mod_inv(lint x, lint p) { return mod_pow(x, p-2, p); } // ルジャンドル記号 (a/p) = a^{\frac{p-1}{2}} (p が奇素数の場合) // (a/p) = 0 ... a = 0 (mod p) // (a/p) = 1 ... a が p を法として平方剰余 // (a/p) = -1 ... a が p を法として平方剰余でない // 平方根の解の存在がこれで確認できる lint Legendre(lint a, lint p) { if(a % p == 0) return 0; lint res = mod_pow(a, (p-1)/2, p); if(res == p-1) return -1; return res; } // r^2 = n (mod p) なる r を求める (mod p 上での n の平方根) vector<lint> TonelliShanks(lint n, lint p) { if(Legendre(n, p) == -1) return {}; if(p == 2) { if(n == 0) return {0}; if(n == 1) return {1}; } lint Q = p - 1, S = 0; while(Q % 2 == 0) Q /= 2, S++; lint z = 2; while(z < p and Legendre(z, p) != -1) z++; if(z == p) return {}; lint M = S; lint c = mod_pow(z, Q, p); lint t = mod_pow(n, Q, p); lint R = mod_pow(n, (Q+1)/2, p); lint r = -1; while(1) { if(t == 0) { r = 0; break; } if(t == 1) { r = R; break; } lint i = 1, tt = t * t % p; for(i=1; i<M; i++) { if(tt == 1) break; tt = tt * tt % p; } if(i == M) return {}; lint b = c; for(lint j=0; j<M-i-1; j++) { b = b * b % p; } M = i; c = b * b % p; t = t * c % p; R = R * b % p; } vector<lint> ans; ans.push_back(r); if(r != p - r) ans.push_back(p - r); return ans; } };
#line 1 "math/math_016_mod_sqrt.cpp" // Tonelli-Shanks Algorithm // 素数 p を法とし、n が与えられたとき、 // r^2 = n (mod p) を満たす r を求める struct QuadraticResidue { using lint = long long int; QuadraticResidue() {} // x^k (mod p) lint mod_pow(lint x, lint k, lint p) { lint res = 1; for(; k>0; k>>=1) { if(k & 1) (res *= x) %= p; (x *= x) %= p; } return res; } lint mod_inv(lint x, lint p) { return mod_pow(x, p-2, p); } // ルジャンドル記号 (a/p) = a^{\frac{p-1}{2}} (p が奇素数の場合) // (a/p) = 0 ... a = 0 (mod p) // (a/p) = 1 ... a が p を法として平方剰余 // (a/p) = -1 ... a が p を法として平方剰余でない // 平方根の解の存在がこれで確認できる lint Legendre(lint a, lint p) { if(a % p == 0) return 0; lint res = mod_pow(a, (p-1)/2, p); if(res == p-1) return -1; return res; } // r^2 = n (mod p) なる r を求める (mod p 上での n の平方根) vector<lint> TonelliShanks(lint n, lint p) { if(Legendre(n, p) == -1) return {}; if(p == 2) { if(n == 0) return {0}; if(n == 1) return {1}; } lint Q = p - 1, S = 0; while(Q % 2 == 0) Q /= 2, S++; lint z = 2; while(z < p and Legendre(z, p) != -1) z++; if(z == p) return {}; lint M = S; lint c = mod_pow(z, Q, p); lint t = mod_pow(n, Q, p); lint R = mod_pow(n, (Q+1)/2, p); lint r = -1; while(1) { if(t == 0) { r = 0; break; } if(t == 1) { r = R; break; } lint i = 1, tt = t * t % p; for(i=1; i<M; i++) { if(tt == 1) break; tt = tt * tt % p; } if(i == M) return {}; lint b = c; for(lint j=0; j<M-i-1; j++) { b = b * b % p; } M = i; c = b * b % p; t = t * c % p; R = R * b % p; } vector<lint> ans; ans.push_back(r); if(r != p - r) ans.push_back(p - r); return ans; } };